Brian Durán

Tarea: Sesión 4 y 5


I Parte


  1. Sea \(P=(2,3)\), \(Q=(5,2)\), \(R=(2,-5)\) y \(S=(1,-2)\). Calcule \(proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}\).

\(\vec{PQ}\)

q <- c(5,2)
p <- c(2,3)
pq <- q - p
pq
[1]  3 -1

\(\vec{RS}\)

r <- c(2,-5)
s <- c(1,-2)
rs <- s - r
rs
[1] -1  3


\(proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}\)


proy <- project(rs, pq)

fractions(proy)
[1] -9/5  3/5


  1. Sea \(u = (-2,1,6)\) y \(v = (2,4,5)\), comprueba que el vector \(w\) dado por \(w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v\) Es un vector ortogonal con \(v\)

Calculamos:

\(u \cdot v\)

u <- c(-2,1,6)
v <- c(2,4,5)
sum(u*v)
[1] 30

\({\|v\|^2}\)


v2 <- norm(v, type="2")^2
v2
[1] 45

\(w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v\)


prod_punto_u_v = sum(u*v)

w = u - ((prod_punto_u_v / v2) * v)

w = fractions(w)

sum(w*v)
[1] 0
subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))
[1] 1.570796
180*subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))/pi
[1] 90

\(W _{\bot } V ?\)

w es ortogonal con v, ya que la múltiplicación entre ellos es igual a cero. Además de que el ángulo que los separa es igual a \(\pi\ /2\)

  1. Sean \(A=(3,0,0)\), \(B=(1,0,2)\), \(C=(2,3,0)\) puntos en el espacio (\(R^3\)).

Con estos puntos:

  1. Determine si el triángulo \(ABC\) es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.
a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- c-a

Respuesta: El triángulo es acutángulo, ya que todos sus ángulos se encuentran entre 0 y 90 grados.

  1. Determine el perímetro del triángulo \(ABC\)
norma_ab <- norm(ab, type="2")
norma_bc <- norm(bc, type="2")
norma_ca <- norm(ca, type="2")

norma_ab + norma_bc + norma_ca
[1] 9.732362
  1. Determine el área del triángulo ABC
semiperimetro <- perimetro / 2

# Por formula de Héron
area = sqrt(semiperimetro * (semiperimetro - norma_ab) * (semiperimetro - norma_bc) * (semiperimetro - norma_ca))

area
[1] 4.358899


II Parte


  1. Compruebe que la matriz P, es ortogonal:
p <- matrix(c(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 
              (1/sqrt(2)), -(1/sqrt(2)), 0, 0, 
              (1/sqrt(6)), (1/sqrt(6)), -(2/sqrt(6)), 0, 
              (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), -(3/(2*sqrt(3)))), 
              nrow=4, ncol=4, byrow=TRUE)

matriz_p <- fractions(p)

matriz_p
     [,1]           [,2]           [,3]           [,4]          
[1,]            1/2            1/2            1/2            1/2
[2,]      2378/3363     -5741/8119              0              0
[3,]    19402/47525    19402/47525  -86329/105731              0
[4,]   75658/262087   75658/262087   75658/262087 -489061/564719
p_inversa <- solve(matriz_p)

fractions(p_inversa)
     [,1]           [,2]           [,3]           [,4]          
[1,]            1/2      2378/3363    19402/47525   75658/262087
[2,]            1/2     -5741/8119    19402/47525   75658/262087
[3,]            1/2              0  -86329/105731   75658/262087
[4,]            1/2              0              0 -489061/564719
p_transpuesta <- t(p)

fractions(p_transpuesta)
     [,1]           [,2]           [,3]           [,4]          
[1,]            1/2      2378/3363    19402/47525   75658/262087
[2,]            1/2     -5741/8119    19402/47525   75658/262087
[3,]            1/2              0  -86329/105731   75658/262087
[4,]            1/2              0              0 -489061/564719

La matriz P es ortogonal puesto que su inversa y su transpuesta son iguales.

  1. Demuestre que A es indempotente.
a <- matrix(c(2, -2, -4, 
              -1, 3, 4,
              1, -2, -3), 
              3, 3, byrow=TRUE)


a
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2   -2   -4
[2,]   -1    3    4
[3,]    1   -2   -3
a%*%a
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2   -2   -4
[2,]   -1    3    4
[3,]    1   -2   -3

La matriz A es idempotente puesto que es igual a ella misma al cuadrado.

  1. Determine la composición \(f(m)\)
m <- matrix(c(3/2, -5/2, 
              2/3, -1/3), 
              2, 2, byrow=TRUE)

fractions(m)
     [,1] [,2]
[1,]  3/2 -5/2
[2,]  2/3 -1/3
m3 <- m%*%m%*%m

m2 <- m%*%m

fx = 6*m3 + 3*m2 - m

fractions(fx)
     [,1]   [,2]  
[1,]  -37/6  -55/6
[2,]   22/9 -116/9
  1. Encuentre la matriz inversa y el determinante de cada una de las siguientes matrices:

a <- matrix(c(1, 2, 3, 
              2, 5, 7,
              -2, -4, -5), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(a)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    3   -2   -1
[2,]   -4    1   -1
[3,]    2    0    1
det(a)
[1] 1
b <- matrix(c(3, -2, -1, 
              -4, 1, -1,
              2, 0, 1), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(b)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    2    5    7
[3,]   -2   -4   -5
det(b)
[1] 1
c <- matrix(c(0, 2, 1, 
              1, 3, -1,
              -1, 1, 2), 
              3, 3, byrow=TRUE)

fractions(solve(c))
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  7/2 -3/2 -5/2
[2,] -1/2  1/2  1/2
[3,]    2   -1   -1
det(c)
[1] 2
d <- matrix(c(3, 6, 9, 
              2, 5, 1,
              1, 1, 8), 
              3, 3, byrow=TRUE)

det(d)
[1] 0

La última matriz no tiene inversa puesto que el determinante es cero, es decir la matriz es singular o invertible.

Que relación existe entre las matrices que poseen inversas y el valor de su determinante? Sug: revisar la teoría vista en clase. Cuando una matriz posee inversa, se puede asumir que su determinante es mayor a cero.


  1. ¿Cómo se propaga una enfermedad contagiosa?. Suponga que un grupo de 4 individuos que llamaremos \(I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\), han contraído una enfermedad.

Este grupo entra en contacto con 6 personas de un segundo grupo: \(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}\). Este tipo de contactos se llaman directos y se pueden representar en una matriz de 4 x 6, como la que se muestra a continuación:

Note que la forma de construir dicha matriz es, colocando un 1 si una persona del primer grupo (contagiados) entra en contacto con alguna persona del segundo grupo.

Llamemos \(A\) a esta matriz de contactos Primer Contacto Directo:

Ahora suponga que las 6 personas del grupo 2 entró en contacto directo con un tercer grupo de cinco personas \(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}\) de la siguiente manera:

Llamamos \(B\) a esta segunda matriz de contacto:


La lógica es igual que en el caso anterior, 1 significa que un individuo del segundo grupo estuvo en contacto con un individuo del tercer grupo. Los contactos indirectos o de segundo orden, se pueden dar entre individuos del primer grupo con individuos del tercer grupo, esto es, que una persona del grupo 3, puede ser contagiada por alguien del grupo 2 que a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. A manera de ejemplo, note que las posiciones \(a_{24}=1\ y \ b_{45}=1\), con esto, se ve que indirectamente la quinta persona del grupo 3, tuvo contacto con una persona del grupo 1 a través de la cuarta persona del grupo 2, así:


Con respecto al caso anterior, realice los siguiente:

  1. Calcule una nueva matriz \(C\), tal que \(C=A \cdot B\) (Tome en cuenta que el producto es matricial, al trabajarlo en R).

a_encabezados = list(c("I1", "I2", "I3", "I4"), c("P1", "P2", "P3", "P4", "P5", "P6"))

a <- matrix(c(0, 1, 0, 0, 1, 0,
              1, 0, 0, 1, 0, 1,
              0, 0, 0, 1, 1, 0,
              1, 0, 0, 0, 0, 1),
              4, 6, byrow=TRUE, dimnames=a_encabezados)

a
   P1 P2 P3 P4 P5 P6
I1  0  1  0  0  1  0
I2  1  0  0  1  0  1
I3  0  0  0  1  1  0
I4  1  0  0  0  0  1
b_encabezados = list(c("P1", "P2", "P3", "P4", "P5", "P6"), c("M1", "M2", "M3", "M4", "M5"))

b <- matrix(c(0, 0, 1, 0, 1,
              0, 0, 0, 1, 0,
              0, 1, 0, 0, 0,
              1, 0, 0, 0, 1,
              0, 0, 0, 1, 0,
              0, 0, 1, 0, 0),
              6, 5, byrow=TRUE, dimnames=b_encabezados)
b
   M1 M2 M3 M4 M5
P1  0  0  1  0  1
P2  0  0  0  1  0
P3  0  1  0  0  0
P4  1  0  0  0  1
P5  0  0  0  1  0
P6  0  0  1  0  0
c <- a%*%b
c
   M1 M2 M3 M4 M5
I1  0  0  0  2  0
I2  1  0  2  0  2
I3  1  0  0  1  1
I4  0  0  2  0  1
  1. ¿Cuáles grupos de individuos (Grupo 1, 2 o 3) están quedando representados en \(C\)?, ¿quiénes están representados en las filas y quiénes en las columnas?

En la matriz \(C\) se están representanto los individuos de los tres grupos, ya que se demuestran los contactos directos e indirectos. Las filas representan a los individuos del grupo 1 (\(I\)) y la sumatoria de la fila representa los contactos indirectos que tuvo el individuo \(I_n\) con miembros del grupo \(M\) a través de miembros del grupo \(P\). Las columnas representan a los miembros del grupo 3 (\(M\)) y la sumatoria de la columna la cantidad total de contactos indirectos que tuvo el individuo (\(M_n\)) con individuos del grupo \(I\) a través de \(P\).

  1. Tome la fila 2 de \(C\) e interprétela (haga la extracción de esta usando un comando apropiado en R).
c[2,]
M1 M2 M3 M4 M5 
 1  0  2  0  2

El individuo \(I_{2}\) fue la persona que más contagio a miembros del grupo \(M\) de manera indirecta.

  1. Tome la columna 2 y 5 de \(C\) e interprételas (Use comandos apropiados en R para la extracción)
c[,2]
I1 I2 I3 I4 
 0  0  0  0

El individuo \(M_{2}\) no tuvo contacto con algún \(P\) que tuviera contacto con algún \(I\). Por lo tanto \(M_{2}\) no fue contagiado.

c[,5]
I1 I2 I3 I4 
 0  2  1  1

El individuo \(M_{5}\) fue el miembro del grupo 3 que más contactos indirectos tuvo con miembros del grupo 1 \(I\).

  1. Interprete la posición \(C_{43}\) (Extraiga la entrada, usando el comando apropiado en R).
c[4,3]
[1] 2

El individuo \(I_4\) tuvo 2 contactos indirectos con el miembro \(M_3\) a través de 2 miembros del grupo 2 (\(P\))

 

Autor Brian Duran

 

---
output: html_notebook
---

```{css, echo = FALSE}
.indent {
 margin-left: 30px;
}
```
```{r, echo = FALSE, message = FALSE}
library(pracma)
library(mosaic)
library(MASS)
```

### Brian Durán
![](../logo_ciencia_de_datos.png)

<h1><center> Tarea: Sesión 4 y 5 </center></h1>

</br>

#### I Parte

</br>

1. Sea $P=(2,3)$, $Q=(5,2)$, $R=(2,-5)$ y $S=(1,-2)$. Calcule $proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}$.

  $\vec{PQ}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
q <- c(5,2)
p <- c(2,3)
pq <- q - p
pq

```

  $\vec{RS}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
r <- c(2,-5)
s <- c(1,-2)
rs <- s - r
rs

```

</br>

$proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}

proy <- project(rs, pq)

fractions(proy)

```

</br>

2. Sea $u = (-2,1,6)$ y $v = (2,4,5)$, comprueba que el vector $w$ dado por $w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v$
Es un vector ortogonal con $v$

Calculamos:

$u \cdot v$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
u <- c(-2,1,6)
v <- c(2,4,5)
sum(u*v)
```

${\|v\|^2}$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}

v2 <- norm(v, type="2")^2
v2
```

$w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v$


```{r, class.source="indent", class.output="indent"}

prod_punto_u_v = sum(u*v)

w = u - ((prod_punto_u_v / v2) * v)

w = fractions(w)

sum(w*v)

subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))

180*subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))/pi

```

$W _{\bot } V ?$

w es ortogonal con v, ya que la múltiplicación entre ellos es igual a cero. Además de que el ángulo que los separa es igual a $\pi\ /2$



3. Sean $A=(3,0,0)$, $B=(1,0,2)$, $C=(2,3,0)$ puntos en el espacio ($R^3$). 

Con estos puntos:

  a. Determine si el triángulo $ABC$ es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
a <- c(3,0,0)
b <- c(1,0,2)
c <- c(2,3,0)

ab <- b-a
bc <- c-b
ca <- a-c

180*subspace(as.matrix(ab), as.matrix(bc))/pi
180*subspace(as.matrix(bc), as.matrix(ca))/pi
180*subspace(as.matrix(ab), as.matrix(ca))/pi

```


Respuesta: El triángulo es acutángulo, ya que todos sus ángulos se encuentran entre 0 y 90 grados.


b. Determine el perímetro del triángulo $ABC$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
norma_ab <- norm(ab, type="2")
norma_bc <- norm(bc, type="2")
norma_ca <- norm(ca, type="2")

norma_ab + norma_bc + norma_ca
```


c. Determine el área del triángulo ABC
```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
semiperimetro <- perimetro / 2

# Por formula de Héron
area = sqrt(semiperimetro * (semiperimetro - norma_ab) * (semiperimetro - norma_bc) * (semiperimetro - norma_ca))

area

```


</br>

#### II Parte

</br>


1. Compruebe que la matriz P, es ortogonal:

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
p <- matrix(c(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 
              (1/sqrt(2)), -(1/sqrt(2)), 0, 0, 
              (1/sqrt(6)), (1/sqrt(6)), -(2/sqrt(6)), 0, 
              (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), (1/(2*sqrt(3))), -(3/(2*sqrt(3)))), 
              nrow=4, ncol=4, byrow=TRUE)

matriz_p <- fractions(p)

matriz_p


p_inversa <- solve(matriz_p)

fractions(p_inversa)


p_transpuesta <- t(p)

fractions(p_transpuesta)

```

La matriz P es ortogonal puesto que su inversa y su transpuesta son iguales.


2. Demuestre que A es indempotente.


```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
a <- matrix(c(2, -2, -4, 
              -1, 3, 4,
              1, -2, -3), 
              3, 3, byrow=TRUE)


a

a%*%a

```


La matriz A es idempotente puesto que es igual a ella misma al cuadrado.


3. Determine la composición $f(m)$

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
m <- matrix(c(3/2, -5/2, 
              2/3, -1/3), 
              2, 2, byrow=TRUE)

fractions(m)

m3 <- m%*%m%*%m

m2 <- m%*%m

fx = 6*m3 + 3*m2 - m

fractions(fx)

```



4. Encuentre la matriz inversa y el determinante de cada una de las siguientes matrices:

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}

a <- matrix(c(1, 2, 3, 
              2, 5, 7,
              -2, -4, -5), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(a)
det(a)

b <- matrix(c(3, -2, -1, 
              -4, 1, -1,
              2, 0, 1), 
              3, 3, byrow=TRUE)

solve(b)
det(b)


c <- matrix(c(0, 2, 1, 
              1, 3, -1,
              -1, 1, 2), 
              3, 3, byrow=TRUE)

fractions(solve(c))
det(c)

d <- matrix(c(3, 6, 9, 
              2, 5, 1,
              1, 1, 8), 
              3, 3, byrow=TRUE)

det(d)

```

La última matriz no tiene inversa puesto que el determinante es cero, es decir la matriz es singular o invertible.


Que relación existe entre las matrices que poseen inversas y el valor de su determinante? Sug: revisar la teoría vista en clase.
Cuando una matriz posee inversa, se puede asumir que su determinante es mayor a cero.


</br>

5. ¿Cómo se propaga una enfermedad contagiosa?. Suponga que un grupo de 4 individuos que llamaremos $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}$, han contraído una enfermedad.

Este grupo entra en contacto con 6 personas de un segundo grupo: $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}$. Este tipo de contactos se llaman directos y se pueden representar en una matriz de 4 x 6, como la que se muestra a continuación:

<center>![](matriz_contagio.png)</center>

Note que la forma de construir dicha matriz es, colocando un 1 si una persona del primer grupo (contagiados) entra en contacto con alguna persona del segundo grupo.

Llamemos $A$ a esta matriz de contactos Primer Contacto Directo:

<center>![](matriz_a.png)</center>

Ahora suponga que las 6 personas del grupo 2 entró en contacto directo con un tercer grupo
de cinco personas $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}$ de la siguiente manera:

<center>![](matriz_contagio_indirecto.png)</center>

Llamamos $B$ a esta segunda matriz de contacto:

<center>![](matriz_b.png)</center>

</br>

La lógica es igual que en el caso anterior, 1 significa que un individuo del segundo grupo estuvo en contacto con un individuo del tercer grupo. Los contactos indirectos o de segundo orden, se pueden dar entre individuos del primer grupo con individuos del tercer grupo, esto es, que una persona del grupo 3, puede ser contagiada por alguien del grupo 2 que a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. A manera de ejemplo, note que las posiciones $a_{24}=1\ y \ b_{45}=1$, con esto, se ve que indirectamente la quinta persona del grupo 3, tuvo contacto con una persona del grupo 1 a través de la cuarta persona del grupo 2, así:

<center>![](arrows.png)</center>

</br>

Con respecto al caso anterior, realice los siguiente:

a. Calcule una nueva matriz $C$, tal que $C=A \cdot B$ (Tome en cuenta que el producto es matricial, al trabajarlo en R).

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}

a_encabezados = list(c("I1", "I2", "I3", "I4"), c("P1", "P2", "P3", "P4", "P5", "P6"))

a <- matrix(c(0, 1, 0, 0, 1, 0,
              1, 0, 0, 1, 0, 1,
              0, 0, 0, 1, 1, 0,
              1, 0, 0, 0, 0, 1),
              4, 6, byrow=TRUE, dimnames=a_encabezados)

a

b_encabezados = list(c("P1", "P2", "P3", "P4", "P5", "P6"), c("M1", "M2", "M3", "M4", "M5"))

b <- matrix(c(0, 0, 1, 0, 1,
              0, 0, 0, 1, 0,
              0, 1, 0, 0, 0,
              1, 0, 0, 0, 1,
              0, 0, 0, 1, 0,
              0, 0, 1, 0, 0),
              6, 5, byrow=TRUE, dimnames=b_encabezados)
b

c <- a%*%b
c

```

b. ¿Cuáles grupos de individuos (Grupo 1, 2 o 3) están quedando representados en $C$?, ¿quiénes están representados en las filas y quiénes en las columnas?

En la matriz $C$ se están representanto los individuos de los tres grupos, ya que se demuestran los contactos directos e indirectos. Las filas representan a los individuos del grupo 1 ($I$) y la sumatoria de la fila representa los contactos indirectos que tuvo el individuo $I_n$ con miembros del grupo $M$ a través de miembros del grupo $P$. Las columnas representan a los miembros del grupo 3 ($M$) y la sumatoria de la columna la cantidad total de contactos indirectos que tuvo el individuo ($M_n$) con individuos del grupo $I$ a través de $P$.


c. Tome la fila 2 de $C$ e interprétela (haga la extracción de esta usando un comando apropiado en R).
```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
c[2,]
```

El individuo $I_{2}$ fue la persona que más contagio a miembros del grupo $M$ de manera indirecta.


d. Tome la columna 2 y 5 de $C$ e interprételas (Use comandos apropiados en R para la extracción)

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
c[,2]
```

El individuo $M_{2}$ no tuvo contacto con algún $P$ que tuviera contacto con algún $I$. Por lo tanto $M_{2}$ no fue contagiado.


```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
c[,5]
```

El individuo $M_{5}$ fue el miembro del grupo 3 que más contactos indirectos tuvo con miembros del grupo 1 $I$.


e. Interprete la posición $C_{43}$ (Extraiga la entrada, usando el comando apropiado en R).

```{r, class.source="indent", class.output="indent"}
c[4,3]
```

El individuo $I_4$ tuvo **2** contactos indirectos con el miembro $M_3$ a través de 2 miembros del grupo 2 ($P$)


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&nbsp;

<hr />
<p style="text-align: center;">Autor <a href="https://github.com/bdurans">Brian Duran</a></p>
<p style="text-align: center;"><span style="color: #808080;"><em>bduran0393@gmail.com</em></span></p>

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    <a href="https://github.com/bdurans/tec_data_science_course/tree/master/mathematics_for_data_science/session_4_and_5_homework" class="fa fa-github"></a>
</p>

<a href="https://github.com/bdurans/tec_data_science_course/tree/master/mathematics_for_data_science/session_4_and_5_homework" class="github-corner" aria-label="View source on GitHub"><svg width="80" height="80" viewBox="0 0 250 250" style="fill:#151513; color:#fff; position: absolute; top: 0; border: 0; right: 0;" aria-hidden="true"><path d="M0,0 L115,115 L130,115 L142,142 L250,250 L250,0 Z"></path><path d="M128.3,109.0 C113.8,99.7 119.0,89.6 119.0,89.6 C122.0,82.7 120.5,78.6 120.5,78.6 C119.2,72.0 123.4,76.3 123.4,76.3 C127.3,80.9 125.5,87.3 125.5,87.3 C122.9,97.6 130.6,101.9 134.4,103.2" fill="currentColor" style="transform-origin: 130px 106px;" class="octo-arm"></path><path d="M115.0,115.0 C114.9,115.1 118.7,116.5 119.8,115.4 L133.7,101.6 C136.9,99.2 139.9,98.4 142.2,98.6 C133.8,88.0 127.5,74.4 143.8,58.0 C148.5,53.4 154.0,51.2 159.7,51.0 C160.3,49.4 163.2,43.6 171.4,40.1 C171.4,40.1 176.1,42.5 178.8,56.2 C183.1,58.6 187.2,61.8 190.9,65.4 C194.5,69.0 197.7,73.2 200.1,77.6 C213.8,80.2 216.3,84.9 216.3,84.9 C212.7,93.1 206.9,96.0 205.4,96.6 C205.1,102.4 203.0,107.8 198.3,112.5 C181.9,128.9 168.3,122.5 157.7,114.1 C157.9,116.9 156.7,120.9 152.7,124.9 L141.0,136.5 C139.8,137.7 141.6,141.9 141.8,141.8 Z" fill="currentColor" class="octo-body"></path></svg></a><style>.github-corner:hover .octo-arm{animation:octocat-wave 560ms ease-in-out}@keyframes octocat-wave{0%,100%{transform:rotate(0)}20%,60%{transform:rotate(-25deg)}40%,80%{transform:rotate(10deg)}}@media (max-width:500px){.github-corner:hover .octo-arm{animation:none}.github-corner .octo-arm{animation:octocat-wave 560ms ease-in-out}}</style>

<script>
$(document).ready(function () {
    $('pre.r').addClass('indent');
    $('p').addClass('indent');
});
</script>

<style>
.indent {
 margin-left: 30px;
}
</style>

&nbsp;
